Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} x^{11} {(1 + x^{12})}^{11} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + x^{12}$ . Sau đó $d u = 12 x^{11} d x$ , nên $\frac{1}{12} d u = x^{11} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{12}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{12}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{12}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{12}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Bước 1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 12$ .

$0 + 12 x^{11}$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $12 x^{11}$ .

$12 x^{11}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{12}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{12}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} u^{11} \frac{1}{12} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{11}$ và $\frac{1}{12}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{11}}{12} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{12}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{12} \int_{1}^{2} u^{11} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{11}$ đối với $u$ là $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{12} u^{12}]_{1}^{2}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{12} u^{12}$ tại $2$ và tại $1$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{12} \cdot 2^{12}) - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{12} \cdot 4096 - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Bước 5.2.2

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4096}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4096$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 (1024)}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Bước 5.2.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1)$

Bước 5.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12})$

Bước 5.2.6

Để viết $\frac{1024}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{12})$

Bước 5.2.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Nhân $\frac{1024}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12})$

Bước 5.2.7.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{12} - \frac{1}{12})$

Bước 5.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1024 \cdot 4 - 1}{12}$

Bước 5.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.9.1

Nhân $1024$ với $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4096 - 1}{12}$

Bước 5.2.9.2

Trừ $1$ khỏi $4096$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4095}{12}$

Bước 5.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $4095$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $4095$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 (1365)}{12}$

Bước 5.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Bước 5.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Bước 5.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1365}{4}$

Bước 5.2.11

Nhân $\frac{1}{12}$ với $\frac{1365}{4}$ .

$\frac{1365}{12 \cdot 4}$

Bước 5.2.12

Nhân $12$ với $4$ .

$\frac{1365}{48}$

Bước 5.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $1365$ và $48$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $1365$ .

$\frac{3 (455)}{48}$

Bước 5.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.13.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $48$ .

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Bước 5.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Bước 5.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{455}{16}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{455}{16}$

Dạng thập phân:

$28.4375$

Dạng hỗn số:

$28 \frac{7}{16}$

Bước 7