Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} e^{- 4 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = - 4 x$ . Sau đó $d u = - 4 d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = - 4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 1.1.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot 0$

Bước 1.3

Nhân $- 4$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 1$

Bước 1.5

Nhân $- 4$ với $1$ .

$u_{upper} = - 4$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 4$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Bước 2.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{- 4} - \frac{e^{u}}{4} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{0}^{- 4} \frac{e^{u}}{4} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{4} \int_{0}^{- 4} e^{u} d u)$

Bước 5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 4}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $e^{u}$ tại $- 4$ và tại $0$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{0})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1 \cdot 1)$

Bước 6.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{4} e^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{- 4}$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Bước 7.3

Nhân $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Bước 7.3.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 7.4

Di chuyển $e^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

Dạng thập phân:

$0.24542109 \dots$

Bước 9