Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{3} (3 - t) \sqrt{t} d t$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{3} (3 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

Bước 2

Khai triển $(3 - t) t^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Bước 2.2

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

Bước 2.3

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

Bước 2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Bước 2.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Bước 2.7

Cộng $2$ và $1$ .

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{0}^{3} t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 6

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $t^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} t^{\frac{3}{2}} d t$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{3}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{3})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $t^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $3$ và tại $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

Bước 9.2.2

Tính $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ tại $3$ và tại $0$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Di chuyển $3^{1}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.2

Nhân $3^{\frac{3}{2}}$ với $3^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.2.1

Di chuyển $3^{- 1}$ .

$3 (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.2.6.2

Cộng $- 2$ và $3$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.7

Nhân $2$ với $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.8.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.9

Nhân $- 1$ với $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.10

Cộng $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ và $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.11

Nhân $2$ với $3$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.12

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Bước 9.2.3.13

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Bước 9.2.3.14

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Bước 9.2.3.14.2

Viết lại biểu thức.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

Bước 9.2.3.15

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

Bước 9.2.3.16

Nhân $2$ với $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{5})$

Bước 9.2.3.17

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.17.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Bước 9.2.3.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.17.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Bước 9.2.3.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Bước 9.2.3.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{1})$

Bước 9.2.3.17.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 0)$

Bước 9.2.3.18

Nhân $- 1$ với $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} + 0)$

Bước 9.2.3.19

Cộng $\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$ và $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Bước 9.2.3.20

Để viết $6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Bước 9.2.3.21

Kết hợp $6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Bước 9.2.3.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5 - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Bước 9.2.3.23

Nhân $5$ với $6$ .

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Dạng thập phân:

$4.15692193 \dots$

Bước 11