Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} + \sqrt{x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{4} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Bước 2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Bước 4.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $1$ .

$5 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 6.2

Tính $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$5 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$5 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 \frac{64 - 1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.4

Trừ $1$ khỏi $64$ .

$5 (\frac{63}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $63$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $63$ .

$5 \frac{3 \cdot 21}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{21}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.5.2.4

Chia $21$ cho $1$ .

$5 \cdot 21 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.6

Nhân $5$ với $21$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.9.2

Viết lại biểu thức.

$105 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$105 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.11

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $8$ .

$105 + \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.12

Nhân $2$ với $8$ .

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.3.13

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Bước 6.3.14

Nhân $- 1$ với $1$ .

$105 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 6.3.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$105 + \frac{16 - 2}{3}$

Bước 6.3.16

Trừ $2$ khỏi $16$ .

$105 + \frac{14}{3}$

Bước 6.3.17

Để viết $105$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$105 \cdot \frac{3}{3} + \frac{14}{3}$

Bước 6.3.18

Kết hợp $105$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{105 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3}$

Bước 6.3.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{105 \cdot 3 + 14}{3}$

Bước 6.3.20

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.20.1

Nhân $105$ với $3$ .

$\frac{315 + 14}{3}$

Bước 6.3.20.2

Cộng $315$ và $14$ .

$\frac{329}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{329}{3}$

Dạng thập phân:

$109.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$109 \frac{2}{3}$

Bước 8