Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{7} x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 x^{2} + 9$ . Sau đó $d u = 8 x d x$ , nên $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 x^{2} + 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$8 x + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $8 x$ và $0$ .

$8 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 4 x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1^{2} + 9$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 4 \cdot 1 + 9$

Bước 1.3.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$u_{lower} = 4 + 9$

Bước 1.3.2

Cộng $4$ và $9$ .

$u_{lower} = 13$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 4 x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 7^{2} + 9$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 49 + 9$

Bước 1.5.1.2

Nhân $4$ với $49$ .

$u_{upper} = 196 + 9$

Bước 1.5.2

Cộng $196$ và $9$ .

$u_{upper} = 205$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 13$

$u_{upper} = 205$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{13}^{205} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{8}$ .

$\int_{13}^{205} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{13}^{205}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $205$ và tại $13$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 205^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $205^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Bước 6.2.2

Kết hợp $13^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Bước 6.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $13^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.2

Kết hợp.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 7.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ vào tử số.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bước 7.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bước 7.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Bước 7.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Bước 7.3.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bước 7.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3}$

Bước 7.5

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Bước 7.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Bước 7.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Bước 7.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Bước 7.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 \cdot (205^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Bước 7.6.3

Nhân $205^{\frac{3}{2}}$ với $1$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Bước 7.6.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Bước 7.6.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Dạng thập phân:

$240.69009594 \dots$

Bước 9