Giải tích Ví dụ

Tìm Các Điểm Uốn f(x)=x^4-2x^2+3
Bước 1
Tìm đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.1.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.1.2.3
Nhân với .
Bước 1.1.3
Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1.3.1
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 1.1.3.2
Cộng .
Bước 1.2
Tìm đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.2.3
Nhân với .
Bước 1.2.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.3.3
Nhân với .
Bước 1.3
Đạo hàm bậc hai của đối với .
Bước 2
Đặt đạo hàm bậc hai bằng sau đó giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Đặt đạo hàm bậc hai bằng .
Bước 2.2
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 2.3
Chia mỗi số hạng trong cho và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.1
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bước 2.3.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.2.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 2.3.2.1.2
Chia cho .
Bước 2.3.3
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.1
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.1.1
Đưa ra ngoài .
Bước 2.3.3.1.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.3.1.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 2.3.3.1.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 2.3.3.1.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 2.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Bước 2.5
Rút gọn .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.1
Viết lại ở dạng .
Bước 2.5.2
Bất cứ nghiệm nào của đều là .
Bước 2.5.3
Nhân với .
Bước 2.5.4
Kết hợp và rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.4.1
Nhân với .
Bước 2.5.4.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 2.5.4.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 2.5.4.4
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 2.5.4.5
Cộng .
Bước 2.5.4.6
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.4.6.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 2.5.4.6.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 2.5.4.6.3
Kết hợp .
Bước 2.5.4.6.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.5.4.6.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 2.5.4.6.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 2.5.4.6.5
Tính số mũ.
Bước 2.6
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.6.1
Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của để tìm đáp án đầu tiên.
Bước 2.6.2
Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của để tìm đáp án thứ hai.
Bước 2.6.3
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Bước 3
Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Thay trong để tìm giá trị của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 3.1.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 3.1.2.1.2
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.2.1
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.2.1.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 3.1.2.1.2.1.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 3.1.2.1.2.1.3
Kết hợp .
Bước 3.1.2.1.2.1.4
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.2.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.1.2.1.2.1.4.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.2.1.4.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.1.2.1.2.1.4.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 3.1.2.1.2.1.4.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 3.1.2.1.2.1.4.2.4
Chia cho .
Bước 3.1.2.1.2.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.1.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.1.2.1.4
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.1.2.1.4.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.4.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.1.2.1.4.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 3.1.2.1.4.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 3.1.2.1.5
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 3.1.2.1.6
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.6.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 3.1.2.1.6.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 3.1.2.1.6.3
Kết hợp .
Bước 3.1.2.1.6.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.6.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 3.1.2.1.6.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 3.1.2.1.6.5
Tính số mũ.
Bước 3.1.2.1.7
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.1.2.1.8
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.8.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.1.2.1.8.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.1.8.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.1.2.1.8.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 3.1.2.1.8.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 3.1.2.1.9
Kết hợp .
Bước 3.1.2.1.10
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 3.1.2.2
Tìm mẫu số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.2.1
Nhân với .
Bước 3.1.2.2.2
Nhân với .
Bước 3.1.2.2.3
Viết ở dạng một phân số với mẫu số .
Bước 3.1.2.2.4
Nhân với .
Bước 3.1.2.2.5
Nhân với .
Bước 3.1.2.2.6
Nhân với .
Bước 3.1.2.3
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 3.1.2.4
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.4.1
Nhân với .
Bước 3.1.2.4.2
Nhân với .
Bước 3.1.2.5
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1.2.5.1
Trừ khỏi .
Bước 3.1.2.5.2
Cộng .
Bước 3.1.2.6
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 3.2
Tìm điểm bằng cách thay thế trong . Điểm này có thể là một điểm uốn.
Bước 3.3
Thay trong để tìm giá trị của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 3.3.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.1
Sử dụng quy tắc lũy thừa để phân phối các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.1.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 3.3.2.1.1.2
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 3.3.2.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.3.2.1.3
Nhân với .
Bước 3.3.2.1.4
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.4.1
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.4.1.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 3.3.2.1.4.1.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 3.3.2.1.4.1.3
Kết hợp .
Bước 3.3.2.1.4.1.4
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.4.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.3.2.1.4.1.4.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.4.1.4.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.3.2.1.4.1.4.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 3.3.2.1.4.1.4.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 3.3.2.1.4.1.4.2.4
Chia cho .
Bước 3.3.2.1.4.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.3.2.1.5
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.3.2.1.6
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.6.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.3.2.1.6.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.6.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.3.2.1.6.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 3.3.2.1.6.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 3.3.2.1.7
Sử dụng quy tắc lũy thừa để phân phối các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.7.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 3.3.2.1.7.2
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 3.3.2.1.8
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.3.2.1.9
Nhân với .
Bước 3.3.2.1.10
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.10.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 3.3.2.1.10.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 3.3.2.1.10.3
Kết hợp .
Bước 3.3.2.1.10.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.10.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 3.3.2.1.10.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 3.3.2.1.10.5
Tính số mũ.
Bước 3.3.2.1.11
Nâng lên lũy thừa .
Bước 3.3.2.1.12
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.12.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.3.2.1.12.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.1.12.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 3.3.2.1.12.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 3.3.2.1.12.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 3.3.2.1.13
Kết hợp .
Bước 3.3.2.1.14
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 3.3.2.2
Tìm mẫu số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.2.1
Nhân với .
Bước 3.3.2.2.2
Nhân với .
Bước 3.3.2.2.3
Viết ở dạng một phân số với mẫu số .
Bước 3.3.2.2.4
Nhân với .
Bước 3.3.2.2.5
Nhân với .
Bước 3.3.2.2.6
Nhân với .
Bước 3.3.2.3
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 3.3.2.4
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.4.1
Nhân với .
Bước 3.3.2.4.2
Nhân với .
Bước 3.3.2.5
Rút gọn bằng cách cộng và trừ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.2.5.1
Trừ khỏi .
Bước 3.3.2.5.2
Cộng .
Bước 3.3.2.6
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 3.4
Tìm điểm bằng cách thay thế trong . Điểm này có thể là một điểm uốn.
Bước 3.5
Xác định các điểm có thể là điểm uốn.
Bước 4
Tách thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.
Bước 5
Thay một giá trị từ khoảng vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 5.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 5.2.1.2
Nhân với .
Bước 5.2.2
Trừ khỏi .
Bước 5.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 5.3
Tại , đạo hàm bậc hai là . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng .
Tăng trên
Tăng trên
Bước 6
Thay một giá trị từ khoảng vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 6.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1.1
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 6.2.1.2
Nhân với .
Bước 6.2.2
Trừ khỏi .
Bước 6.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 6.3
Tại , đạo hàm bậc hai là . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng
Giảm trên
Giảm trên
Bước 7
Thay một giá trị từ khoảng vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 7.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 7.2.1.2
Nhân với .
Bước 7.2.2
Trừ khỏi .
Bước 7.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 7.3
Tại , đạo hàm bậc hai là . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng .
Tăng trên
Tăng trên
Bước 8
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
Bước 9