Giải tích Ví dụ

$x = \tan (y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\sec^{2} (y) y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = \sec^{2} (y) y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sec^{2} (y) y' = 1$ .

$\sec^{2} (y) y' = 1$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $\sec^{2} (y) y' = 1$ cho $\sec^{2} (y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $\sec^{2} (y) y' = 1$ cho $\sec^{2} (y)$ .

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Bước 5.2.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

Bước 5.2.3.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

Bước 5.2.3.3

Viết lại $\sec (y)$ theo sin và cosin.

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

Bước 5.2.3.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

Bước 5.2.3.5

Nhân $\cos (y)$ với $1$ .

$y' = \cos^{2} (y)$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (y) = \pm \sqrt{0}$

Bước 7.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\cos (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 7.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\cos (y) = \pm 0$

Bước 7.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$\cos (y) = 0$

Bước 7.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$y = \arccos (0)$

Bước 7.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Bước 7.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$y = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 7.6

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 7.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 7.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 7.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 7.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Bước 7.7

Tìm chu kỳ của $\cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 7.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 7.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 7.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 7.8

Chu kỳ của hàm $\cos (y)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$y = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại phương trình ở dạng $\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$ .

$\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$

Bước 8.2

Sắp xếp lại $\frac{π}{2}$ và $π n$ .

$\tan (y) = π n + \frac{π}{2}$

Bước 8.3

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm tang.

$y = \arctan (π n + \frac{π}{2})$

Bước 9

Solve for $x$ when $y$ is $\arctan (π n + \frac{π}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\arctan (π n + \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + π n$

Bước 9.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$n = - \frac{1}{2}$

Bước 10

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \arctan (π n + \frac{π}{2}))$

Bước 11