Giải tích Ví dụ

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{8 t - t^{2}}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $t$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{t^{4}} = t^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + \frac{t^{2}}{t^{2}}}{\frac{8 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + \frac{t^{2}}{t^{2}}}{\frac{8 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Bước 2.1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + 1}{\frac{8 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Bước 2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $t$ và $t^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t^{1}}{t^{4}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Bước 2.2.2.2

Đưa $t$ ra ngoài $t^{1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t^{4}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Bước 2.2.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{4}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Bước 2.2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Bước 2.2.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - 1}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - 1}$

Bước 2.5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}}} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - 1}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{t^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - 1}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - 1}$

Bước 4.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - lim_{t \to \infty} 1}$

Bước 4.3

Chuyển số hạng $8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{8 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{t}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{8 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{8 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}} + 1}{8 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Bước 6.2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{0 + 1}{8 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Bước 6.2.1.3

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nhân $8$ với $0$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Bước 6.2.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Bước 6.2.2.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.3

Chia $1$ cho $- 1$ .

$- 1$