Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Bước 1.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

Bước 1.4.2.2

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Bước 1.4.2.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sin (2 x) - \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (2 x) - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Bước 4

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Bước 5

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Bước 5.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 5.3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Bước 6

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 7

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 7.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 7.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 7.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 7.2.5

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, π$

Bước 8

Đặt $2 \cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $2 \cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 8.2

Giải $2 \cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (x) = 1$

Bước 8.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 8.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 8.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Bước 8.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Bước 8.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Bước 8.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 8.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 8.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 8.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 8.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 8.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Bước 8.2.7

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Bước 9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$2 \cos (0) - \cos (0)$

Bước 11.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

Bước 11.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 - \cos (0)$

Bước 11.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Bước 11.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 - 1$

Bước 11.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$1$

Bước 12

$x = 0$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 13

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

Bước 13.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

Bước 13.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Bước 13.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Bước 13.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (0) = 1$

Bước 13.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = π$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

Bước 15

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$2 \cos (0) - \cos (π)$

Bước 15.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

Bước 15.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 - \cos (π)$

Bước 15.1.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$2 - - \cos (0)$

Bước 15.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 - (- 1 \cdot 1)$

Bước 15.1.6

Nhân $- (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 - - 1$

Bước 15.1.6.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 + 1$

Bước 15.2

Cộng $2$ và $1$ .

$3$

Bước 16

$x = π$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = π$ là cực tiểu địa phương

Bước 17

Tìm giá trị y khi $x = π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế biến $x$ bằng $π$ trong biểu thức.

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

Bước 17.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

Bước 17.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

Bước 17.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (π) = 0 + \cos (π)$

Bước 17.2.1.4

$f (π) = 0 - \cos (0)$

Bước 17.2.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

Bước 17.2.1.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (π) = 0 - 1$

Bước 17.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$f (π) = - 1$

Bước 17.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$y = - 1$

Bước 18

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{3}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Bước 19

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

Bước 19.1.2

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Bước 19.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Bước 19.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Bước 19.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Bước 19.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Bước 19.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Bước 19.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 19.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 19.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Bước 19.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Bước 19.5.2

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Bước 19.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2}$

Bước 20

$x = \frac{π}{3}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{3}$ là cực đại địa phương

Bước 21

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{3}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 21.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 21.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 21.2.1.3

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 21.2.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 21.2.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 21.2.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 21.2.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 21.2.1.3.5

Tính số mũ.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 21.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 21.2.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Bước 21.2.2

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 21.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.2.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Bước 21.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Bước 21.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Bước 21.2.5

Cộng $3$ và $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Bước 21.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Bước 22

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{5 π}{3}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 23

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.1

Nhân $2 (\frac{5 π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.1.1

Kết hợp $2$ và $\frac{5 π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 23.1.1.2

Nhân $5$ với $2$ .

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 23.1.2

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 23.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 23.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 23.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 23.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 23.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 23.1.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Bước 23.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Bước 23.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 23.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 23.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Bước 23.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Bước 23.5.2

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Bước 23.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2}$

Bước 24

$x = \frac{5 π}{3}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{5 π}{3}$ là cực đại địa phương

Bước 25

Tìm giá trị y khi $x = \frac{5 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{5 π}{3}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.5

Nhân $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.1.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.6.5

Tính số mũ.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Bước 25.2.1.8

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 25.2.1.9

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Bước 25.2.2

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 25.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.2.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Bước 25.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Bước 25.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Bước 25.2.5

Cộng $3$ và $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

Bước 25.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Bước 26

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ là một cực tiểu địa phương

$(π, - 1)$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 27