Giải tích Ví dụ

$2 x^{2} + y^{2} = 17$ , $(2, 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (17)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 1.2.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 1.2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

Bước 1.2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 y y' + 4 x$

Bước 1.3

Vì $17$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $17$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' + 4 x = 0$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y y' = - 4 x$

Bước 1.5.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = - 4 x$ cho $2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y y' = - 4 x$ cho $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Bước 1.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Bước 1.5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Bước 1.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Bước 1.5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

Bước 1.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Bước 1.5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

Bước 1.5.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Bước 1.5.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Bước 1.5.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = 2$ và $y = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$- \frac{2 (2)}{y}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $3$ trong biểu thức.

$- \frac{2 (2)}{3}$

Bước 1.7.3

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{4}{3}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $- \frac{4}{3}$ và một điểm đã cho $(2, 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (2))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $- \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2$

Bước 2.3.1.5

Nhân $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.5.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 2 (\frac{4}{3})$

Bước 2.3.1.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3}$

Bước 2.3.1.5.3

Nhân $2$ với $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3}$

Bước 2.3.1.6

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3$

Bước 2.3.2.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Bước 2.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 3 \cdot 3}{3}$

Bước 2.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.5.1

Nhân $3$ với $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 9}{3}$

Bước 2.3.2.5.2

Cộng $8$ và $9$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{17}{3}$

Bước 2.3.3

Viết dưới dạng $y = m x + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{17}{3}$

Bước 2.3.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{17}{3}$

Bước 3