Giải tích Ví dụ

$2 x \ln (8 x) + x$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x \ln (8 x) + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \ln (8 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (8 x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (8 x)] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $8 x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 x$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.7

Nhân $8$ với $1$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.8

Kết hợp $\frac{1}{8 x}$ và $8$ .

$2 (x \frac{8}{8 x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.9

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (x \frac{8}{8 x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.9.2

Viết lại biểu thức.

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.10

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.11

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.11.2

Viết lại biểu thức.

$2 (1 + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.12

Nhân $\ln (8 x)$ với $1$ .

$2 (1 + \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (8 x)) + 1$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (8 x) + 1$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 \ln (8 x) + 1$

Bước 4.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$2 \ln (8 x) + 3$