Giải tích Ví dụ

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \sin (x) \cos (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 8

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Bước 9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Bước 10

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Bước 11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Bước 12

Cộng $1$ và $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Bước 13.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Bước 13.3

Viết lại $4 \cos^{2} (x)$ ở dạng ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Bước 13.4

Viết lại $4 \sin^{2} (x)$ ở dạng ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Bước 13.5

Sắp xếp lại $- {(2 \sin (x))}^{2}$ và ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Bước 13.6

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2 \cos (x)$ và $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Bước 13.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Bước 13.8

Khai triển $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Bước 13.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Bước 13.8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 13.9

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.9.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ và $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 13.9.2

Cộng $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ và $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 13.9.3

Cộng $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ và $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 13.10

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.10.1

Nhân $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.10.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 13.10.1.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 13.10.1.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 13.10.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 13.10.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Bước 13.10.2

Nhân $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.10.2.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Bước 13.10.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Bước 13.10.2.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Bước 13.10.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Bước 13.10.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$