Giải tích Ví dụ

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 1}$ ở dạng ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 9.3

Di chuyển ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Bước 10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 12

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

Bước 13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Bước 13.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Bước 13.3

Kết hợp $\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 13.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 13.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2

Nhân $1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.3.2

Kết hợp.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 14.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.5

Triệt tiêu thừa số chung ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 14.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.6

Nhân ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.7

Đưa ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.7.1

Sắp xếp lại ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ và $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.7.2

Đưa ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.7.3

Đưa ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 14.7.4

Đưa ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 14.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 14.9

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 14.10

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$