Giải tích Ví dụ

$y = {(3 x + 1)}^{x - 3}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(3 x + 1)}^{x - 3}$ ở dạng $e^{\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})$ bằng cách di chuyển $x - 3$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = (x - 3) \ln (3 x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $(x - 3) \ln (3 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $(x - 3) \ln (3 x + 1)$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x - 3$ và $g (x) = \ln (3 x + 1)$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)] + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 3 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x + 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x + 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 5.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 5.4

Nhân $3$ với $1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 5.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 + 0) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 5.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} \cdot 3 + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 5.6.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3 x + 1}$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 5.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Bước 5.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Bước 5.9

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (1 + 0))$

Bước 5.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) \cdot 1)$

Bước 5.10.2

Nhân $\ln (3 x + 1)$ với $1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1))$