Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = a x + b$ và $g (x) = c x + d$ .

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a x + b$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $a$ với $1$ .

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $b$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $b$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2.6

Cộng $a$ và $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $c x + d$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2.8

Vì $c$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $c x$ đối với $x$ là $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2.10

Nhân $c$ với $1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2.11

Vì $d$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $d$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 2.12

Cộng $c$ và $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $c x a + d a - (a x) c - b c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $c x a$ và $- (a x) c$ .

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Trừ $a c x$ khỏi $a c x$ .

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 3.4.3

Cộng $d a$ và $0$ .

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$