Giải tích Ví dụ

$f (x) = (3 x - 8) \ln (2 x^{5} + 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 3 x - 8$ và $g (x) = \ln (2 x^{5} + 3)$ .

$(3 x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5} + 3)] + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 2 x^{5} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x^{5} + 3$ .

$(3 x - 8) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$(3 x - 8) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x^{5} + 3$ .

$(3 x - 8) (\frac{1}{2 x^{5} + 3} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{5} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{5}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 3.4

Nhân $5$ với $2$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 3.5

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4} + 0) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $10 x^{4}$ và $0$ .

$(3 x - 8) \frac{1}{2 x^{5} + 3} (10 x^{4}) + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 3.6.2

Kết hợp $10$ và $\frac{1}{2 x^{5} + 3}$ .

$(3 x - 8) \frac{10}{2 x^{5} + 3} x^{4} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 3.6.3

Kết hợp $x^{4}$ và $\frac{10}{2 x^{5} + 3}$ .

$(3 x - 8) \frac{x^{4} \cdot 10}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 3.6.4

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$(3 x - 8) \frac{10 \cdot x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 8]$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Bước 3.8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Bước 3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Bước 3.10

Nhân $3$ với $1$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Bước 3.11

Vì $- 8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 8$ đối với $x$ là $0$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) (3 + 0)$

Bước 3.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Cộng $3$ và $0$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + \ln (2 x^{5} + 3) \cdot 3$

Bước 3.12.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\ln (2 x^{5} + 3)$ .

$(3 x - 8) \frac{10 x^{4}}{2 x^{5} + 3} + 3 \ln (2 x^{5} + 3)$