Giải tích Ví dụ

$\tan (\frac{x}{y}) = x + y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = \frac{x}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{y}$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 2.3.2

Nhân $y$ với $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 2.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.5

Kết hợp $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ và $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$1 + y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 1 + y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với $y^{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Bước 5.2.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = (1 + y') y^{2}$

Bước 5.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y + \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = (1 + y') y^{2}$

Bước 5.2.1.1.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = (1 + y') y^{2}$

Bước 5.2.1.1.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Bước 5.2.1.1.3.3

Di chuyển $x$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Bước 5.2.1.1.3.4

Sắp xếp lại $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ và $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $(1 + y') y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 1 y^{2} + y' y^{2}$

Bước 5.2.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y^{2} + y' y^{2}$

Bước 5.2.2.1.2.2

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $y' y^{2}$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y' y^{2} + y^{2}$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $y' y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2}$

Bước 5.3.2

Trừ $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Bước 5.3.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Bước 5.3.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Bước 5.3.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Bước 5.3.5

Viết lại $- 1 y^{2}$ ở dạng $- y^{2}$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Bước 5.3.6

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ cho $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ cho $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Bước 5.3.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 5.3.6.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Bước 5.3.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.3.1

Kết hợp thành một phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.3.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} - \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Bước 5.3.6.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Bước 5.3.6.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.3.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Bước 5.3.6.3.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Bước 5.3.6.3.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))$ .

$y' = \frac{y (y - 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Bước 5.3.6.3.2.2

Viết lại $- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ ở dạng $- \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Bước 5.3.6.3.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.3.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y^{2}}$

Bước 5.3.6.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})}$

Bước 5.3.6.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Bước 5.3.6.3.3.4

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.3.3.4.1

Viết lại $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ ở dạng $- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Bước 5.3.6.3.3.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$