Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{1}{x}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , nên $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.1.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Bước 1.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Bước 1.3

Chia $1$ cho $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 1.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 1.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - e^{u} d u$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u} d u$

Bước 3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $e^{u}$ tại $\frac{1}{2}$ và tại $1$ .

$- ((e^{\frac{1}{2}}) - e^{1})$

Bước 4.2

Rút gọn.

$- (e^{\frac{1}{2}} - e)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- e^{\frac{1}{2}} - - e$

Bước 5.2

Nhân $- - e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + 1 e$

Bước 5.2.2

Nhân $e$ với $1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Dạng thập phân:

$1.06956055 \dots$

Bước 7