Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{- x} \sqrt{x}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{- x}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 8.3

Kết hợp $e^{- x}$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 8.4

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 9.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 9.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 10

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 10.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Bước 10.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)$

Bước 10.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})$

Bước 10.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})$

Bước 10.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$