Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} x^{2} \ln (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Bước 4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Bước 4.2.2.5

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ tại $3$ và tại $1$ .

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

Bước 6.2

Tính $\frac{1}{3} x^{3}$ tại $3$ và tại $1$ .

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{\ln (3) \cdot 27}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.2

Di chuyển $27$ sang phía bên trái của $\ln (3)$ .

$\frac{27 \cdot \ln (3)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $27 \ln (3)$ .

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 \ln (3)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.3.2.4

Chia $9 \ln (3)$ cho $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.5

Nhân $\ln (1)$ với $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.8.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.9

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Bước 6.3.10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3})$

Bước 6.3.11

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 6.3.12

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 6.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

Bước 6.3.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.14.1

Nhân $9$ với $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

Bước 6.3.14.2

Trừ $1$ khỏi $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{26}{3}$

Bước 6.3.15

Nhân $\frac{26}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{3 \cdot 3}$

Bước 6.3.16

Nhân $3$ với $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{9}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$9 \ln (3) - \frac{0}{3} - \frac{26}{9}$

Bước 7.1.2

Chia $0$ cho $3$ .

$9 \ln (3) - 0 - \frac{26}{9}$

Bước 7.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$9 \ln (3) + 0 - \frac{26}{9}$

Bước 7.2

Cộng $9 \ln (3)$ và $0$ .

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

Dạng thập phân:

$6.99862170 \dots$