Giải tích Ví dụ

$\int \sin (4 x) \cos (4 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \sin (4 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (4 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $4$ với $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

Bước 1.1.3.3.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{4} d u_{2}$

Bước 2

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u_{2}}{4} d u_{2}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 5.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{8} \sin^{2} (4 x) + C$