Giải tích Ví dụ

$\int x^{2} \sin (3 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = \sin (3 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\cos (3 x)$ và $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x$

Bước 3

Vì $- \frac{1}{3} \cdot 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{3} \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 2 \int \cos (3 x) (x) d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- 2 (\frac{1}{3}) \int \cos (3 x) (x) d x)$

Bước 4.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Bước 4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - (- \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Bước 4.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x)$

Bước 4.5

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} \int \cos (3 x) (x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \cos (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sin (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Bước 6.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sin (3 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x))$

Bước 8

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 8.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u)$

Bước 9

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u)$

Bước 10

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u)$

Bước 11.2

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u)$

Bước 12

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Viết lại $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$ ở dạng $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$

Bước 13.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Để viết $\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Bước 13.2.2

Kết hợp $\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{\frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Bước 13.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) \cdot 3}{3} + C$

Bước 13.2.4

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Bước 13.2.5

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{6}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Bước 13.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Bước 13.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Bước 13.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Bước 13.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Bước 13.2.6.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9})}{3} + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9})}{3} + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + 2 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.1.2

Kết hợp $2$ và $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + 2 \frac{\cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.1.3

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos (3 x)}{9}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (3 x) + \frac{2 (x \sin (3 x))}{3} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.1.4

Để viết $- x^{2} \cos (3 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} - x^{2} \cos (3 x) \cdot \frac{9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.1.5

Kết hợp $- x^{2} \cos (3 x)$ và $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.1.7

Để viết $\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.1.8

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $9$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.8.1

Nhân $\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.1.8.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{9} + \frac{- x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.1.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.1.10

Viết lại $\frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3 - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.10.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.1.10.2

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Bước 15.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3} + C$

Bước 15.3

Nhân $\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Nhân $\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9 \cdot 3} + C$

Bước 15.3.2

Nhân $9$ với $3$ .

$\frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{27} + C$

Bước 15.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{27} (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)) + C$