Giải tích Ví dụ

$\int \sec^{3} (x) \tan^{3} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\tan^{2} (x)$ ra ngoài.

$\int \sec^{3} (x) (\tan^{2} (x) \tan (x)) d x$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) ((- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x)) d x$

Bước 3

Giả sử $u = \sec (x)$ . Sau đó $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{2} (- 1 + u^{2}) d u$

Bước 4

Nhân $u^{2} (- 1 + u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$\int - 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.2

Viết lại $- 1 u^{2}$ ở dạng $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 5.3

Nhân $u^{2}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Bước 5.3.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + \frac{1}{5} \sec^{5} (x) + C$