Giải tích Ví dụ

$\int \frac{5 - x}{2 x^{2} + x - 1} d x$

Bước 1

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ và có tổng là $b = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Nhân với $1$ .

$\frac{5 - x}{2 x^{2} + 1 x - 1}$

Bước 1.1.1.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1$ cộng $2$

$\frac{5 - x}{2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1}$

Bước 1.1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 - x}{2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1}$

Bước 1.1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{5 - x}{(2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1}$

Bước 1.1.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{5 - x}{x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}$

Bước 1.1.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x - 1$ .

$\frac{5 - x}{(2 x - 1) (x + 1)}$

Bước 1.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Bước 1.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

Bước 1.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $(2 x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{(5 - x) (2 x - 1) (x + 1)}{(2 x - 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(5 - x) (2 x - 1) (x + 1)}{(2 x - 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 1.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(5 - x) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 1.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(5 - x) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 1.1.6.2

Chia $5 - x$ cho $1$ .

$5 - x = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 1.1.7

Sắp xếp lại $5$ và $- x$ .

$- x + 5 = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 1.1.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- x + 5 = \frac{A (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 1.1.8.1.2

Chia $(A) (x + 1)$ cho $1$ .

$- x + 5 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 1.1.8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x + 5 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 1.1.8.3

Nhân $A$ với $1$ .

$- x + 5 = A x + A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 1.1.8.4

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- x + 5 = A x + A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 1.1.8.4.2

Chia $(B) (2 x - 1)$ cho $1$ .

$- x + 5 = A x + A + (B) (2 x - 1)$

Bước 1.1.8.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x + 5 = A x + A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Bước 1.1.8.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- x + 5 = A x + A + 2 B x + B \cdot - 1$

Bước 1.1.8.7

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $B$ .

$- x + 5 = A x + A + 2 B x - 1 \cdot B$

Bước 1.1.8.8

Viết lại $- 1 B$ ở dạng $- B$ .

$- x + 5 = A x + A + 2 B x - B$

Bước 1.1.9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.9.1

Di chuyển $B$ .

$- x + 5 = A x + A + 2 x B - B$

Bước 1.1.9.2

Di chuyển $A$ .

$- x + 5 = A x + 2 x B + A - B$

Bước 1.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$- 1 = A + 2 B$

Bước 1.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$5 = A - 1 B$

Bước 1.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$- 1 = A + 2 B$

$5 = A - 1 B$

$- 1 = A + 2 B$

$5 = A - 1 B$

Bước 1.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Giải tìm $A$ trong $- 1 = A + 2 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $A + 2 B = - 1$ .

$A + 2 B = - 1$

$5 = A - 1 B$

Bước 1.3.1.2

Trừ $2 B$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$A = - 1 - 2 B$

$5 = A - 1 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = A - 1 B$

Bước 1.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $- 1 - 2 B$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $5 = A - 1 B$ bằng $- 1 - 2 B$ .

$5 = (- 1 - 2 B) - 1 B$

$A = - 1 - 2 B$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Rút gọn $(- 1 - 2 B) - 1 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1.1

Viết lại $- 1 B$ ở dạng $- B$ .

$5 = - 1 - 2 B - B$

$A = - 1 - 2 B$

Bước 1.3.2.2.1.2

Trừ $B$ khỏi $- 2 B$ .

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

Bước 1.3.3

Giải tìm $B$ trong $5 = - 1 - 3 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 1 - 3 B = 5$ .

$- 1 - 3 B = 5$

$A = - 1 - 2 B$

Bước 1.3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $B$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 3 B = 5 + 1$

$A = - 1 - 2 B$

Bước 1.3.3.2.2

Cộng $5$ và $1$ .

$- 3 B = 6$

$A = - 1 - 2 B$

$- 3 B = 6$

$A = - 1 - 2 B$

Bước 1.3.3.3

Chia mỗi số hạng trong $- 3 B = 6$ cho $- 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 B = 6$ cho $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

Bước 1.3.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

Bước 1.3.3.3.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

$B = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

$B = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

Bước 1.3.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.3.1

Chia $6$ cho $- 3$ .

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

Bước 1.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $- 2$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $A = - 1 - 2 B$ bằng $- 2$ .

$A = - 1 - 2 \cdot - 2$

$B = - 2$

Bước 1.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1

Rút gọn $- 1 - 2 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1.1

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$A = - 1 + 4$

$B = - 2$

Bước 1.3.4.2.1.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

Bước 1.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = 3, B = - 2$

Bước 1.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 2}{x + 1}$

Bước 1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{3}{2 x - 1} - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{3}{2 x - 1} d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = 2 x - 1$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x - 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1}{u_{1}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2}{x + 1} d x$

Bước 10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 11

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 12

Giả sử $u_{2} = x + 1$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Hãy đặt $u_{2} = x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 12.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 12.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 12.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 12.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 12.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 13

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Bước 14

Rút gọn.

$\frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x - 1$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 1$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |) + C$