Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 2 \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \sec (t) \tan (t)$ dương.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $4 \tan^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 \sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $2 \sec (t)$ ra ngoài $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Bước 3

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Bước 4

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 6

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

Bước 8

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Bước 11

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

Bước 12

Rút gọn.

$2 (- t + \tan (t)) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $arcsec (\frac{x}{2})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Do đó, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ là $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

Bước 14.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Bước 14.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{x}{2}$ và $b = 1$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Bước 14.1.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Bước 14.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Bước 14.1.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

Bước 14.1.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

Bước 14.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

Bước 14.1.9

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

Bước 14.1.10

Nhân $\frac{x + 2}{2}$ với $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

Bước 14.1.11

Nhân $2$ với $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

Bước 14.1.12

Viết lại $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.12.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

Bước 14.1.12.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

Bước 14.1.12.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

Bước 14.1.13

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

Bước 14.1.14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Bước 14.2

Để viết $- arcsec (\frac{x}{2})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Bước 14.3

Kết hợp $- arcsec (\frac{x}{2})$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Bước 14.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Bước 14.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Bước 14.5.2

Viết lại biểu thức.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Bước 14.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$