Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

Bước 1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

Bước 2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

Bước 3

Nhân đối số với $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 4.2

Nhân ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ với $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Bước 5.2

Nhân ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ với $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\sec (\frac{x}{2})$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 6.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 6.4

Viết lại $\sec (\frac{x}{2})$ theo sin và cosin.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Bước 6.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 6.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 6.7

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (\frac{x}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Đưa $\cos (\frac{x}{2})$ ra ngoài $- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 6.7.2

Đưa $\cos (\frac{x}{2})$ ra ngoài $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 6.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 6.7.4

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 6.8

Kết hợp $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ và $- 2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

Bước 6.9

Kết hợp $\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ và $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 6.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 7

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ sang $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Bước 8

Quy đổi từ $\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ sang $2 \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Bước 9

Chuyển đổi $\sec^{2} (x)$ thành $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Bước 10

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

Bước 11

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 11.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 11.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

Bước 11.4

Viết lại đa thức này.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Bước 11.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = 1$ và $b = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

Bước 12

Giả sử $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Hãy đặt $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 12.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 12.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 12.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Bước 13.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

Bước 13.3

Kết hợp $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ và $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Bước 13.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Bước 14

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Bước 15

Giả sử $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , nên $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Tính đạo hàm $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

Bước 15.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Bước 15.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Bước 15.1.3

Tính $\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $- \tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Bước 15.1.3.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

Bước 15.1.4

Trừ $\sec^{2} (u_{1})$ khỏi $0$ .

$- \sec^{2} (u_{1})$

Bước 15.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 16

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 17

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Bước 18

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 18.2

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Bước 18.3

Nhân các số mũ trong ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Bước 18.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Bước 19

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- 2}$ đối với $u_{2}$ là $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Viết lại $- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ ở dạng $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Bước 20.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Bước 20.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2}{u_{2}} + C$

Bước 21

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

Bước 21.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

Bước 22

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$