Giải tích Ví dụ

$\int \frac{e^{u}}{{(1 - e^{u})}^{2}} d u$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 1 - e^{u}$ . Sau đó $d u_{1} = - e^{u} d u$ , nên $- \frac{1}{e^{u}} d u_{1} = d u$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 1 - e^{u}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - e^{u}$ .

$\frac{d}{d u} [1 - e^{u}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - e^{u}$ đối với $u$ là $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $u$ , đạo hàm của $1$ đối với $u$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , nên đạo hàm của $- e^{u}$ đối với $u$ là $- \frac{d}{d u} [e^{u}]$ .

$0 - \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 - e^{u}$

Bước 1.1.4

Trừ $e^{u}$ khỏi $0$ .

$- e^{u}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển ${u_{1}}^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{- 2}$ đối với $u_{1}$ là $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$ ở dạng $- - \frac{1}{u_{1}} + C$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C$

Bước 6.2.2

Nhân $\frac{1}{u_{1}}$ với $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 - e^{u}$ .

$\frac{1}{1 - e^{u}} + C$