Giải tích Ví dụ

$y = \sin (x + y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x + y))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \cos (x + y) (1 + y')$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn $\cos (x + y) (1 + y')$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = \cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y'$

Bước 5.1.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.1

Nhân $\cos (x + y)$ với $1$ .

$y' = \cos (x + y) + \cos (x + y) y'$

Bước 5.1.1.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$y' = \cos (x + y) + y' \cos (x + y)$

Bước 5.2

Trừ $y' \cos (x + y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' - y' \cos (x + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y' \cos (x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y))$ .

$y' (1 - 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Bước 5.4

Viết lại $- 1 \cos (x + y)$ ở dạng $- \cos (x + y)$ .

$y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ cho $1 - \cos (x + y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ cho $1 - \cos (x + y)$ .

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - \cos (x + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$