Giải tích Ví dụ

$x y + 2 x + 3 y = 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x y + 2 x + 3 y) = \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y + 2 x + 3 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 2.2.4

Nhân $y$ với $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y' + y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$x y' + y + 2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y' + y + 2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y + 2 + 3 y'$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$x y' + y + 3 y' + 2$

Bước 3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x y' + y + 3 y' + 2 = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' + 3 y' + 2 = - y$

Bước 5.1.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' + 3 y' = - y - 2$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' + 3 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $x y'$ .

$y' x + 3 y' = - y - 2$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y'$ .

$y' x + y' \cdot 3 = - y - 2$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x + y' \cdot 3$ .

$y' (x + 3) = - y - 2$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + 3) = - y - 2$ cho $x + 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + 3) = - y - 2$ cho $x + 3$ .

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x + 3)}{x + 3} = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 3} + \frac{- 2}{x + 3}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- y - 2}{x + 3}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$y' = \frac{- (y) - 2}{x + 3}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (y) - 1 (2)}{x + 3}$

Bước 5.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (y + 2)}{x + 3}$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Viết lại $- (y + 2)$ ở dạng $- 1 (y + 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{x + 3}$

Bước 5.3.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y + 2}{x + 3}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + 2}{x + 3}$