Giải tích Ví dụ

$\tan (4 x + y) = 4 x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\tan (4 x + y)) = \frac{d}{d x} (4 x)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 4 x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x + y$ .

$\sec^{2} (4 x + y) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.4

Nhân $4$ với $1$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ cho $\sec^{2} (4 x + y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chia mỗi số hạng trong $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ cho $\sec^{2} (4 x + y)$ .

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Bước 5.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (4 x + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Bước 5.1.2.1.2

Chia $4 + y'$ cho $1$ .

$4 + y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Bước 5.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$