Giải tích Ví dụ

$24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3} = - 11$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 11)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $24 x^{3} y^{2}$ đối với $x$ là $24 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y^{2}$ .

$24 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$24 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$24 (x^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$24 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Bước 2.2.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$24 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Bước 2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$24 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Bước 2.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$24 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Bước 2.2.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 y^{3}$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 y^{2} y')$

Bước 2.3.4

Nhân $3$ với $- 8$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$24 (2 x^{3} y y') + 24 (3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $2$ với $24$ .

$48 (x^{3} y y') + 24 (3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

Bước 2.4.2.2

Nhân $3$ với $24$ .

$48 x^{3} y y' + 72 y^{2} x^{2} - 24 y^{2} y'$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$48 x^{3} y y' + 72 x^{2} y^{2} - 24 y^{2} y'$

Bước 3

Vì $- 11$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 11$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$48 x^{3} y y' + 72 x^{2} y^{2} - 24 y^{2} y' = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $72 x^{2} y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$48 x^{3} y y' - 24 y^{2} y' = - 72 x^{2} y^{2}$

Bước 5.2

Đưa $24 y y'$ ra ngoài $48 x^{3} y y' - 24 y^{2} y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $24 y y'$ ra ngoài $48 x^{3} y y'$ .

$24 y y' (2 x^{3}) - 24 y^{2} y' = - 72 x^{2} y^{2}$

Bước 5.2.2

Đưa $24 y y'$ ra ngoài $- 24 y^{2} y'$ .

$24 y y' (2 x^{3}) + 24 y y' (- y) = - 72 x^{2} y^{2}$

Bước 5.2.3

Đưa $24 y y'$ ra ngoài $24 y y' (2 x^{3}) + 24 y y' (- y)$ .

$24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$ cho $24 y (2 x^{3} - y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$ cho $24 y (2 x^{3} - y)$ .

$\frac{24 y y' (2 x^{3} - y)}{24 y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{24 y y' (2 x^{3} - y)}{24 y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y' (2 x^{3} - y)}{y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y' (2 x^{3} - y)}{y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Bước 5.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (2 x^{3} - y)}{2 x^{3} - y} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Bước 5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2 x^{3} - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (2 x^{3} - y)}{2 x^{3} - y} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Bước 5.3.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 72$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Đưa $24$ ra ngoài $- 72 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Bước 5.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.2.1

Đưa $24$ ra ngoài $24 y (2 x^{3} - y)$ .

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 (y (2 x^{3} - y))}$

Bước 5.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 (y (2 x^{3} - y))}$

Bước 5.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{y (2 x^{3} - y)}$

Bước 5.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y (2 x^{3} - y)}$

Bước 5.3.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y (2 x^{3} - y)}$

Bước 5.3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$

Bước 5.3.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$