Giải tích Ví dụ

$y = x \sqrt{4 - x}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 - x}$ ở dạng ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.3

Di chuyển ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.2

Kết hợp $\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{- x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Bước 16

Nhân ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 17

Để viết ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 18

Kết hợp ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20

Nhân ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Di chuyển ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{- x + {(4 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21

Rút gọn ${(4 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $4 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x + 2 \cdot 4 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.2.1.1

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{- x + 8 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- x + 8 - 2 x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.2.2

Trừ $2 x$ khỏi $- x$ .

$\frac{- 3 x + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.4

Viết lại $8$ ở dạng $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.6

Viết lại $- (3 x - 8)$ ở dạng $- 1 (3 x - 8)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$