Giải tích Ví dụ

$\arctan (e^{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} e^{x}$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ và $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$