Giải tích Ví dụ

$\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$ ở dạng ${(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = \frac{8}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{8}{x}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Bước 8

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{8}{x}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 9.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- x^{- 2})$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{8}{3}$ và $x^{- 2}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8 x^{- 2}}{3})$

Bước 11.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

${(\frac{x}{8})}^{\frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Bước 12.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{8}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Bước 12.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Bước 12.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Bước 12.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Bước 12.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{2}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Bước 12.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Bước 12.3.5

Nhân $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}$ với $\frac{8}{3 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{4 (3 x^{2})}$

Bước 12.3.6

Nhân $3$ với $4$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{12 x^{2}}$

Bước 12.3.7

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{12 x^{2}}$

Bước 12.3.8

Di chuyển $x^{\frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{8}{12 x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 12.3.9

Nhân $x^{2}$ với $x^{- \frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.9.1

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8}{12 (x^{- \frac{2}{3}} x^{2})}$

Bước 12.3.9.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2}}$

Bước 12.3.9.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

Bước 12.3.9.4

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Bước 12.3.9.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

Bước 12.3.9.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.9.6.1

Nhân $2$ với $3$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

Bước 12.3.9.6.2

Cộng $- 2$ và $6$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 12.3.10

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$- \frac{4 (2)}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 12.3.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.11.1

Đưa $4$ ra ngoài $12 x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 (2)}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Bước 12.3.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{4 \cdot 2}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Bước 12.3.11.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$