Giải tích Ví dụ

$\ln (x^{2} - 1) = 3$

Bước 1

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{2} - 1)} = e^{3}$

Bước 2

Viết lại $\ln (x^{2} - 1) = 3$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} - 1$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} - 1 = e^{3}$ .

$x^{2} - 1 = e^{3}$

Bước 3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = e^{3} + 1$

Bước 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1}$

Bước 3.4

Rút gọn $\pm \sqrt{e^{3} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1^{3}}$

Bước 3.4.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = e$ và $b = 1$ .

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e \cdot 1 + 1^{2})}$

Bước 3.4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1^{2})}$

Bước 3.4.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Bước 3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Bước 3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Bước 3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Dạng thập phân:

$x = 4.59189905 \dots, - 4.59189905 \dots$