Giải tích Ví dụ

$y = x$ , $y = \sqrt[4]{x}$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$x = \sqrt[4]{x}$

Bước 1.2

Giải $x = \sqrt[4]{x}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì căn thức nằm ở vế phải của phương trình, chuyển đổi các vế để nó ở vế trái của phương trình.

$\sqrt[4]{x} = x$

Bước 1.2.2

Để loại bỏ căn ở vế trái của phương trình, lũy thừa cả hai vế của phương trình lên mũ $4$ .

${\sqrt[4]{x}}^{4} = x^{4}$

Bước 1.2.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Bước 1.2.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Bước 1.2.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = x^{4}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Rút gọn.

$x = x^{4}$

Bước 1.2.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Trừ $x^{4}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x - x^{4} = 0$

Bước 1.2.4.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x - x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Bước 1.2.4.2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Bước 1.2.4.2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Bước 1.2.4.2.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Bước 1.2.4.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Bước 1.2.4.2.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Bước 1.2.4.2.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Bước 1.2.4.2.4.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Bước 1.2.4.2.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Bước 1.2.4.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0 + y = \sqrt[4]{x}$

Bước 1.2.4.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.4.5

Đặt $1 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.5.1

Đặt $1 - x$ bằng với $0$ .

$1 - x = 0$

Bước 1.2.4.5.2

Giải $1 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.5.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 1$

Bước 1.2.4.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.4.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.4.5.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.4.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.5.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 1.2.4.6

Đặt $1 + x + x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.1

Đặt $1 + x + x^{2}$ bằng với $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Bước 1.2.4.6.2

Giải $1 + x + x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = \sqrt[4]{x}$

Bước 1.2.4.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 1$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1} + y = \sqrt[4]{x}$

Bước 1.2.4.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.2.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.3.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.2.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.4.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.4.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.4.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.2.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.5.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.5.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.2.4.6.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.5.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.4.6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.2.4.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ đúng.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$y = \sqrt[4]{0}$

Bước 1.3.2

Rút gọn $\sqrt[4]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \sqrt[4]{0}$

Bước 1.3.2.2

Viết lại $0$ ở dạng $0^{4}$ .

$y = \sqrt[4]{0^{4}}$

Bước 1.3.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$y = 0$

Bước 1.4

Tính $y$ khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$y = \sqrt[4]{1}$

Bước 1.4.2

Rút gọn $\sqrt[4]{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \sqrt[4]{1}$

Bước 1.4.2.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$y = 1$

Bước 1.5

Tính $y$ khi $x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Thay $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ bằng $x$ .

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Bước 1.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Bước 1.6

Tính $y$ khi $x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Thay $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ bằng $x$ .

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Bước 1.6.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Bước 1.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2

Vùng giữa các đường cong đã cho không bị giới hạn.

Vùng không có biên

Bước 3