Giải tích Ví dụ

Tìm Cực Đại Địa Phương và Cực Tiểu Địa Phương f(x)=3x^5-5x^3
Bước 1
Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.3
Nhân với .
Bước 1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.3
Nhân với .
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.3
Nhân với .
Bước 2.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.3.3
Nhân với .
Bước 3
Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng và giải.
Bước 4
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.2.3
Nhân với .
Bước 4.1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.3.3
Nhân với .
Bước 4.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 5
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 5.2
Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.1
Viết lại ở dạng .
Bước 5.2.2
Giả sử . Thay cho tất cả các lần xuất hiện của .
Bước 5.2.3
Đưa ra ngoài .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.2.3.1
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.3.2
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.3.3
Đưa ra ngoài .
Bước 5.2.4
Thay thế tất cả các lần xuất hiện của với .
Bước 5.3
Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng , toàn bộ biểu thức sẽ bằng .
Bước 5.4
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.1
Đặt bằng với .
Bước 5.4.2
Giải để tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Bước 5.4.2.2
Rút gọn .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.4.2.2.1
Viết lại ở dạng .
Bước 5.4.2.2.2
Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.
Bước 5.4.2.2.3
Cộng hoặc trừ .
Bước 5.5
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.1
Đặt bằng với .
Bước 5.5.2
Giải để tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.2.1
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 5.5.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Bước 5.5.2.3
Bất cứ nghiệm nào của đều là .
Bước 5.5.2.4
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.5.2.4.1
Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của để tìm đáp án đầu tiên.
Bước 5.5.2.4.2
Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của để tìm đáp án thứ hai.
Bước 5.5.2.4.3
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Bước 5.6
Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho đúng.
Bước 6
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.
Bước 7
Các điểm cực trị cần tính.
Bước 8
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 9
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 9.1.1
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 9.1.2
Nhân với .
Bước 9.1.3
Nhân với .
Bước 9.2
Cộng .
Bước 10
Vì có ít nhất một điểm với hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.1
Chia thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị và làm cho đạo hàm bậc nhất hoặc không xác định.
Bước 10.2
Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như , từ khoảng trong đạo hàm đầu tiên để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.2.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 10.2.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.2.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.2.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 10.2.2.1.2
Nhân với .
Bước 10.2.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 10.2.2.1.4
Nhân với .
Bước 10.2.2.2
Trừ khỏi .
Bước 10.2.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 10.3
Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như , từ khoảng trong đạo hàm đầu tiên để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.3.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 10.3.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.3.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.3.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 10.3.2.1.2
Nhân với .
Bước 10.3.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 10.3.2.1.4
Nhân với .
Bước 10.3.2.2
Trừ khỏi .
Bước 10.3.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 10.4
Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như , từ khoảng trong đạo hàm đầu tiên để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.4.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 10.4.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.4.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 10.4.2.1.2
Nhân với .
Bước 10.4.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 10.4.2.1.4
Nhân với .
Bước 10.4.2.2
Trừ khỏi .
Bước 10.4.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 10.5
Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như , từ khoảng trong đạo hàm đầu tiên để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.5.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 10.5.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.5.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.5.2.1.1
Nâng lên lũy thừa .
Bước 10.5.2.1.2
Nhân với .
Bước 10.5.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 10.5.2.1.4
Nhân với .
Bước 10.5.2.2
Trừ khỏi .
Bước 10.5.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 10.6
Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh , nên là một cực đại địa phương.
là cực đại địa phương
Bước 10.7
Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.
Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương
Bước 10.8
Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh , nên là một cực tiểu địa phương.
là cực tiểu địa phương
Bước 10.9
Đây là những cực trị địa phương cho .
là cực đại địa phương
là cực tiểu địa phương
là cực đại địa phương
là cực tiểu địa phương
Bước 11