Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(i - 1)}^{2}$ ở dạng $(i - 1) (i - 1)$ .

$(i - 1) (i - 1)$

Bước 1.2

Khai triển $(i - 1) (i - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $i$ với $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $i$ .

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.1.3

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.1.4

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

Bước 1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$i^{2} - i - i + 1$

Bước 1.3.2

Trừ $i$ khỏi $- i$ .

$i^{2} - 2 i + 1$

Bước 1.4

Viết lại tổng.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

Bước 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

Bước 3

Tính $\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 3.2

Thay các giá trị vào công thức.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Bước 3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Bước 3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Bước 3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $2$ với $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Bước 3.3.2.2

Cộng $20$ và $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Bước 3.3.2.3

Nhân $10$ với $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Bước 3.3.2.4

Cộng $40$ và $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Bước 3.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $210$ với $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Bước 3.3.3.2

Chia $8610$ cho $3$ .

$2870$

Bước 4

Tính $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Cộng $20$ và $1$ .

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Bước 4.3.1.2

Nhân $20$ với $21$ .

$- 2 (\frac{420}{2})$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

Bước 4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 420$

Bước 4.3.3

Nhân $- 1$ với $420$ .

$- 420$

Bước 5

Tính $\sum_{i = 1}^{20} 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 5.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(1) (20)$

Bước 5.3

Nhân $20$ với $1$ .

$20$

Bước 6

Cộng các kết quả của tổng.

$2870 - 420 + 20$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Trừ $420$ khỏi $2870$ .

$2450 + 20$

Bước 7.2

Cộng $2450$ và $20$ .

$2470$