Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 2 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 2 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $4 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 \cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $2 \cos (t)$ ra ngoài ${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

Bước 2.2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

Bước 4

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ sang $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

Bước 5

Vì đạo hàm của $- \cot (t)$ là $\csc^{2} (t)$ , tích phân của $\csc^{2} (t)$ là $- \cot (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\cot (t)$ .

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arcsin (\frac{x}{2})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Do đó, $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ là $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Bước 8.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.9

Nhân $\frac{2 + x}{2}$ với $\frac{2 - x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.10

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.11

Viết lại $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.11.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $(2 + x) (2 - x)$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.11.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.11.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.12

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.13

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.14

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.14.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

Bước 8.1.15

Kết hợp $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ và $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

Bước 8.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Bước 8.3

Nhân $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ với $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

Bước 8.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$