Giải tích Ví dụ

$\int 9 z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $z$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

Bước 2

Giả sử $u = 3 z^{2} - 7$ . Sau đó $d u = 6 z d z$ , nên $\frac{1}{6} d u = z d z$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 z^{2} - 7$ . Tìm $\frac{d u}{d z}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 z^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2} - 7]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 z^{2} - 7$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d z} [3 z^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $z$ , nên đạo hàm của $3 z^{2}$ đối với $z$ là $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 7]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 z + \frac{d}{d z} [- 7]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $- 7$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $z$ là $0$ .

$6 z + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $6 z$ và $0$ .

$6 z$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{6} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{6} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{1}{6} \int \sqrt{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $9$ .

$\frac{9}{6} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 (3)}{6} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$1 u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.5

Nhân $u^{\frac{3}{2}}$ với $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 z^{2} - 7$ .

${(3 z^{2} - 7)}^{\frac{3}{2}} + C$