Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{5} w^{2} \ln (w) d w$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (w)$ và $d v = w^{2}$ .

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $w^{3}$ .

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Bước 2.2

Kết hợp $\ln (w)$ và $\frac{w^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $w$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $w^{3}$ và $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{3}}{w} d w)$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $w^{3}$ và $w$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $w$ ra ngoài $w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $w$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

Bước 4.2.2.2

Đưa $w$ ra ngoài $w^{1}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Bước 4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{2}}{1} d w)$

Bước 4.2.2.5

Chia $w^{2}$ cho $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $w^{2}$ đối với $w$ là $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ tại $5$ và tại $1$ .

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

Bước 6.2

Tính $\frac{1}{3} w^{3}$ tại $5$ và tại $1$ .

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{\ln (5) \cdot 125}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.2

Di chuyển $125$ sang phía bên trái của $\ln (5)$ .

$\frac{125 \cdot \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.4

Nhân $\ln (1)$ với $1$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.5

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $125$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 6.3.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Bước 6.3.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3})$

Bước 6.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{125 - 1}{3}$

Bước 6.3.10

Trừ $1$ khỏi $125$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{124}{3}$

Bước 6.3.11

Nhân $\frac{124}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{3 \cdot 3}$

Bước 6.3.12

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{9}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{125 \ln (5) - \ln (1)}{3} + \frac{- 124}{9}$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{125 \ln (5) - 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

Bước 7.2.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{125 \ln (5) + 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

Bước 7.3

Cộng $125 \ln (5)$ và $0$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} + \frac{- 124}{9}$

Bước 7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

Dạng thập phân:

$53.28213524 \dots$