Giải tích Ví dụ

$\int x e^{5 x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{5 x}$ .

$x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $e^{5 x}$ .

$x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)$

Bước 4

Giả sử $u = 5 x$ . Sau đó $d u = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 5 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 4.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Bước 5

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Bước 7.2

Nhân $5$ với $5$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Bước 9

Viết lại $\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ ở dạng $\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{5 x} + C$