Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} x^{2} + \sqrt{x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ và $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.4

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.6

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.8

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.9

Nhân $\frac{1}{3}$ với $0$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.10

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2.11

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 5.2.2.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Bước 5.2.2.12.2

Viết lại biểu thức.

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 5.2.2.13

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Bước 5.2.2.14

Nhân $\frac{2}{3}$ với $0$ .

$1 - (0 + 0)$

Bước 5.2.2.15

Cộng $0$ và $0$ .

$1 - 0$

Bước 5.2.2.16

Nhân $- 1$ với $0$ .

$1 + 0$

Bước 5.2.2.17

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6