Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 2.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {\sqrt{3}}^{2} + 1$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Bước 2.5.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Bước 2.5.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u_{upper} = 3^{\frac{2}{2}} + 1$

Bước 2.5.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 3^{\frac{2}{2}} + 1$

Bước 2.5.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = 3^{1} + 1$

Bước 2.5.1.5

Tính số mũ.

$u_{upper} = 3 + 1$

Bước 2.5.2

Cộng $3$ và $1$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.1.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 5.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 \int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 5.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$2 \int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 5.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.2.4

Tính số mũ.

$2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.2.5

Nhân $2$ với $2$ .

$2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 7.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 (4 - 2 \cdot 1)$

Bước 7.2.7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$2 (4 - 2)$

Bước 7.2.8

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$2 \cdot 2$

Bước 7.2.9

Nhân $2$ với $2$ .

$4$

Bước 8