Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{7} \sqrt{y + 9} d y$

Bước 1

Giả sử $u = y + 9$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = y + 9$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 9$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Bước 1.1.4

Vì $9$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $9$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = y + 9$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Bước 1.3

Cộng $0$ và $9$ .

$u_{lower} = 9$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 7 + 9$

Bước 1.5

Cộng $7$ và $9$ .

$u_{upper} = 16$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $16$ và tại $9$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.6

Nhân $2$ với $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.7

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Bước 4.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Bước 4.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

Bước 4.2.10

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27$

Bước 4.2.11

Nhân $27$ với $- 1$ .

$\frac{128}{3} - 27 (\frac{2}{3})$

Bước 4.2.12

Kết hợp $- 27$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3}$

Bước 4.2.13

Nhân $- 27$ với $2$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 54}{3}$

Bước 4.2.14

Triệt tiêu thừa số chung của $- 54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.14.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 54$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3}$

Bước 4.2.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.14.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)}$

Bước 4.2.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1}$

Bước 4.2.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{128}{3} + \frac{- 18}{1}$

Bước 4.2.14.2.4

Chia $- 18$ cho $1$ .

$\frac{128}{3} - 18$

Bước 4.2.15

Để viết $- 18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 4.2.16

Kết hợp $- 18$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

Bước 4.2.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.18.1

Nhân $- 18$ với $3$ .

$\frac{128 - 54}{3}$

Bước 4.2.18.2

Trừ $54$ khỏi $128$ .

$\frac{74}{3}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{74}{3}$

Dạng thập phân:

$24.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$24 \frac{2}{3}$

Bước 6