Giải tích Ví dụ

$\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 3.3

Nhân ${(x^{2} + 1)}^{2}$ với $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 5.2

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 5.2.2

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 5.2.3

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 14

Cộng $1$ và $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 15

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$4 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 16

Kết hợp $4$ và $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 17.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Nhân $- 3$ với $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 17.2.2

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 17.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 12 x^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 17.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 17.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 17.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 17.5

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 17.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 17.7

Viết lại $- (3 x^{2} - 1)$ ở dạng $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 17.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$