Giải tích Ví dụ

$\int_{4}^{5} \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Bước 1

Chia $x^{3} - 3 x^{2} - 9$ cho $x^{3} - 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

Bước 1.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{3}$ .

									$1$
	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$

Bước 1.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Bước 1.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 0$

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Bước 1.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$
													-	$9$

Bước 1.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int_{4}^{5} 1 - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{4}^{5} d x + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Bước 5

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$x]_{4}^{5} - (9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x)$

Bước 6

Nhân $9$ với $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Bước 7

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3} - 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2} x - 3 x^{2}}$

Bước 7.1.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 3}$

Bước 7.1.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{1}{x^{2} (x - 3)}$

Bước 7.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$

Bước 7.1.3

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $x^{2} (x - 3)$ .

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.1.2

Chia $A (x - 3)$ cho $1$ .

$1 = A (x - 3) + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A x + A \cdot - 3 + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.3

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $A$ .

$1 = A x - 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $B (x^{2} (x - 3))$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$1 = A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.4.2.5

Chia $B (x (x - 3))$ cho $1$ .

$1 = A x - 3 A + B (x (x - 3)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.6

Nhân $x$ với $x$ .

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.7

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x$ .

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} - 3 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} + B (- 3 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.9

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.10

Triệt tiêu thừa số chung $x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{C (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Bước 7.1.6.10.2

Chia $(C) (x^{2})$ cho $1$ .

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2}$

Bước 7.1.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.7.1

Di chuyển $B$ .

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2}$

Bước 7.1.7.2

Di chuyển $- 3 A$ .

$1 = A x + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 3 A$

Bước 7.1.7.3

Di chuyển $- 3 x B$ .

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B - 3 A$

Bước 7.1.7.4

Di chuyển $A x$ .

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 3 x B - 3 A$

Bước 7.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x^{2}$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = B + C$

Bước 7.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = A - 3 B$

Bước 7.2.3

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = - 3 A$

Bước 7.2.4

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

Bước 7.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Giải tìm $A$ trong $1 = - 3 A$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Bước 7.3.1.2

Chia mỗi số hạng trong $- 3 A = 1$ cho $- 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 A = 1$ cho $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Bước 7.3.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Bước 7.3.1.2.2.1.2

Chia $A$ cho $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Bước 7.3.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Bước 7.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ bằng $- \frac{1}{3}$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $A$ trong $0 = A - 3 B$ bằng $- \frac{1}{3}$ .

$0 = (- \frac{1}{3}) - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Bước 7.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Bước 7.3.3

Giải tìm $B$ trong $0 = - \frac{1}{3} - 3 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{1}{3} - 3 B = 0$ .

$- \frac{1}{3} - 3 B = 0$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Bước 7.3.3.2

Cộng $\frac{1}{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 3 B = \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Bước 7.3.3.3

Chia mỗi số hạng trong $- 3 B = \frac{1}{3}$ cho $- 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 B = \frac{1}{3}$ cho $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Bước 7.3.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Bước 7.3.3.3.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Bước 7.3.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$B = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Bước 7.3.3.3.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$B = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{3})$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Bước 7.3.3.3.3.3

Nhân $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.3.3.3.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$B = - \frac{1}{3 \cdot 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Bước 7.3.3.3.3.3.2

Nhân $3$ với $3$ .

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Bước 7.3.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $- \frac{1}{9}$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $0 = B + C$ bằng $- \frac{1}{9}$ .

$0 = (- \frac{1}{9}) + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Bước 7.3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.4.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Bước 7.3.5

Giải tìm $C$ trong $0 = - \frac{1}{9} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{1}{9} + C = 0$ .

$- \frac{1}{9} + C = 0$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Bước 7.3.5.2

Cộng $\frac{1}{9}$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Bước 7.3.6

Giải hệ phương trình.

$C = \frac{1}{9} B = - \frac{1}{9} A = - \frac{1}{3}$

Bước 7.3.7

Liệt kê tất cả các đáp án.

$C = \frac{1}{9}, B = - \frac{1}{9}, A = - \frac{1}{3}$

Bước 7.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ , $B$ và $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{x^{2}} - \frac{\frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Bước 7.5.2

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 3} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Bước 7.5.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Bước 7.5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Bước 7.5.5

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{x \cdot 9} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Bước 7.5.6

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Bước 7.5.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Bước 7.5.8

Nhân $\frac{1}{9}$ với $\frac{1}{x - 3}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9 (x - 3)} d x$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$x]_{4}^{5} - 9 (\int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \int_{4}^{5} \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 10

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$x]_{4}^{5} - 9 (- (\frac{1}{3} \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x) + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 11

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 11.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 11.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{- 2} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} - x^{- 1}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 13

Kết hợp $- x^{- 1}]_{4}^{5}$ và $\frac{1}{3}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 14

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \int_{4}^{5} \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 15

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - (\frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x} d x) + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 16

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{1}{9} \ln (| x |)]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 17

Kết hợp $\ln (| x |)]_{4}^{5}$ và $\frac{1}{9}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Bước 18

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 3} d x)$

Bước 19

Giả sử $u = x - 3$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Hãy đặt $u = x - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Tính đạo hàm $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 19.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 19.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 19.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 19.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 19.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Bước 19.3

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 19.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 5 - 3$

Bước 19.5

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 19.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 19.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Bước 20

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \ln (| u |)]_{1}^{2})$

Bước 21

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $\ln (| u |)]_{1}^{2}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Bước 22

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Tính $x$ tại $5$ và tại $4$ .

$(5) - 4 - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Bước 22.2

Tính $- x^{- 1}$ tại $5$ và tại $4$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Bước 22.3

Tính $\ln (| x |)$ tại $5$ và tại $4$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Bước 22.4

Tính $\ln (| u |)$ tại $2$ và tại $1$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.5.1

Trừ $4$ khỏi $5$ .

$1 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.4

Để viết $- \frac{1}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.5

Để viết $\frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.6

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $20$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.5.6.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{4}{4}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.6.2

Nhân $5$ với $4$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.6.3

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{5}{5}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.6.4

Nhân $4$ với $5$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 - 9 (- \frac{\frac{- 4 + 5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.8

Cộng $- 4$ và $5$ .

$1 - 9 (- \frac{\frac{1}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.9

Viết lại $\frac{\frac{1}{20}}{3}$ ở dạng một tích.

$1 - 9 (- (\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{3}) - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.10

Nhân $\frac{1}{20}$ với $\frac{1}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{20 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.11

Nhân $20$ với $3$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.12

Để viết $- \frac{1}{60}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.13

Để viết $- \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.14

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $180$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.5.14.1

Nhân $\frac{1}{60}$ với $\frac{3}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{60 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.14.2

Nhân $60$ với $3$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.14.3

Nhân $\frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ với $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.14.4

Nhân $9$ với $20$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 - 9 (\frac{- 3 - (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.16

Nhân $20$ với $- 1$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Bước 22.5.17

Để viết $\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9} \cdot \frac{20}{20})$

Bước 22.5.18

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $180$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.5.18.1

Nhân $\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ với $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20})$

Bước 22.5.18.2

Nhân $9$ với $20$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180})$

Bước 22.5.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180}$

Bước 22.5.20

Di chuyển $20$ sang phía bên trái của $\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$ .

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 \cdot (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$

Bước 22.5.21

Kết hợp $- 9$ và $\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$ .

$1 + \frac{- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{180}$

Bước 22.5.22

Triệt tiêu thừa số chung của $- 9$ và $180$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.5.22.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$ .

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{180}$

Bước 22.5.22.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.5.22.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $180$ .

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 (20)}$

Bước 22.5.22.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 \cdot 20}$

Bước 22.5.22.2.3

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{20}$

Bước 22.5.23

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

Bước 23

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

Bước 23.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

Bước 23.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{20}{20} - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

Bước 23.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Bước 24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $5$ là $5$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Bước 24.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $4$ là $4$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Bước 24.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{| 1 |}))}{20}$

Bước 24.4

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{1}))}{20}$

Bước 24.5

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (2))}{20}$

Bước 24.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{20 - - 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

Bước 24.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.7.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{20 + 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

Bước 24.7.2

Nhân $- 20$ với $- 1$ .

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - (20 \ln (2))}{20}$

Bước 24.7.3

Nhân $20$ với $- 1$ .

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Bước 24.8

Cộng $20$ và $3$ .

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Bước 25

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Dạng thập phân:

$0.67999637 \dots$

Bước 26