Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} - 9$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} - 9$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 9) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 9 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 6.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 9 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 6.3.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 9 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 6.3.1.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 9 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 6.3.1.2

Nhân $2$ với $- 9$ .

$\frac{2 x^{3} - 18 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 6.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{3} - 18 x - 2 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Trừ $2 x^{3}$ khỏi $2 x^{3}$ .

$\frac{- 18 x + 0}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 6.3.2.2

Cộng $- 18 x$ và $0$ .

$\frac{- 18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 6.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Bước 6.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$- \frac{18 x}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Bước 6.5.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$- \frac{18 x}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Bước 6.5.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 3) (x - 3)$ .

$- \frac{18 x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$