Giải tích Ví dụ

$\frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$

Bước 1.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$- 4 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- 4 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Bước 3.3

Nhân ${(x^{2} - 1)}^{2}$ với $1$ .

$- 4 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 1$ .

$- 4 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 4 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 1$ .

$- 4 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 4 \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Bước 5.2

Đưa $x^{2} - 1$ ra ngoài ${(x^{2} - 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x^{2} - 1$ ra ngoài ${(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$- 4 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) - 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Bước 5.2.2

Đưa $x^{2} - 1$ ra ngoài $- 2 x ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

$- 4 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Bước 5.2.3

Đưa $x^{2} - 1$ ra ngoài $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1) + (x^{2} - 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ .

$- 4 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $x^{2} - 1$ ra ngoài ${(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$- 4 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$- 4 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 4 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 4 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 9

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 4 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- 4 \frac{x^{2} - 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 4 \frac{x^{2} - 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 4 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 4 \frac{x^{2} - 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 4 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 14

Cộng $1$ và $1$ .

$- 4 \frac{x^{2} - 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 15

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$- 4 \frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 16

Kết hợp $- 4$ và $\frac{- 3 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 4 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 18.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Nhân $- 3$ với $4$ .

$- \frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Bước 18.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- \frac{- 12 x^{2} - 4}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$