Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $- 24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 24 x^{2}$ đối với $x$ là $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Bước 1.1.2.3

Nhân $2$ với $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $12$ với $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} - 48 x + 12$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.2.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Vì $- 48$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 48 x$ đối với $x$ là $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.2.3.3

Nhân $- 48$ với $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

Bước 1.2.4.2

Cộng $12 x^{2} - 48$ và $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

Bước 1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Bước 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $12 x^{2} - 48 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Bước 2.2

Cộng $48$ cho cả hai vế của phương trình.

$12 x^{2} = 48$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $12 x^{2} = 48$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $12 x^{2} = 48$ cho $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia $48$ cho $12$ .

$x^{2} = 4$

Bước 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 2.5

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 2.5.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 2.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 2.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 2.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 3

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $2$ trong $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = {(2)}^{4} - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Bước 3.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f (2) = 16 - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Bước 3.1.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (2)$

Bước 3.1.2.1.3

Nhân $- 24$ với $4$ .

$f (2) = 16 - 96 + 12 (2)$

Bước 3.1.2.1.4

Nhân $12$ với $2$ .

$f (2) = 16 - 96 + 24$

Bước 3.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Trừ $96$ khỏi $16$ .

$f (2) = - 80 + 24$

Bước 3.1.2.2.2

Cộng $- 80$ và $24$ .

$f (2) = - 56$

Bước 3.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 56$ .

$- 56$

Bước 3.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $2$ trong $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ là $(2, - 56)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(2, - 56)$

Bước 3.3

Thay $- 2$ trong $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Bước 3.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$f (- 2) = 16 - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Bước 3.3.2.1.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (- 2)$

Bước 3.3.2.1.3

Nhân $- 24$ với $4$ .

$f (- 2) = 16 - 96 + 12 (- 2)$

Bước 3.3.2.1.4

Nhân $12$ với $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 96 - 24$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Trừ $96$ khỏi $16$ .

$f (- 2) = - 80 - 24$

Bước 3.3.2.2.2

Trừ $24$ khỏi $- 80$ .

$f (- 2) = - 104$

Bước 3.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 104$ .

$- 104$

Bước 3.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 2$ trong $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ là $(- 2, - 104)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 2, - 104)$

Bước 3.5

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(2, - 56), (- 2, - 104)$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 2)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 2.1) = 12 {(- 2.1)}^{2} - 48$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 2.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Bước 5.2.1.2

Nhân $12$ với $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 52.92 - 48$

Bước 5.2.2

Trừ $48$ khỏi $52.92$ .

$f'' (- 2.1) = 4.92$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $4.92$ .

$4.92$

Bước 5.3

Tại $- 2.1$ , đạo hàm bậc hai là $4.92$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, - 2)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 2)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 2, 2)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Bước 6.2.1.2

Nhân $12$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48$

Bước 6.2.2

Trừ $48$ khỏi $0$ .

$f'' (0) = - 48$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 48$ .

$- 48$

Bước 6.3

Tại $0$ , đạo hàm bậc hai là $- 48$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- 2, 2)$

Giảm trên $(- 2, 2)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(2, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2.1$ trong biểu thức.

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 48$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $2.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Bước 7.2.1.2

Nhân $12$ với $4.41$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 48$

Bước 7.2.2

Trừ $48$ khỏi $52.92$ .

$f'' (2.1) = 4.92$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $4.92$ .

$4.92$

Bước 7.3

Tại $2.1$ , đạo hàm bậc hai là $4.92$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(2, \infty)$ .

Tăng trên $(2, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 104), (2, - 56)$ .

$(- 2, - 104), (2, - 56)$

Bước 9